quinta-feira, 24 de fevereiro de 2011

"Sumérios na Matematica"

Os sumérios viveram pacificamente, até que uma sombra se estendeu sobre a região. Os sábios compreenderam que era tempo de partir. Desde então a capital da Suméria passou a se chamar Bab-I-Lu, e os povos daquela região passaram a se chamar babilônios.
O aparecimento de $\sqrt 2$ 
Uma das características mais relevantes da matemática suméria era o uso do sistema de numeração posicional. Isto possibilitava o cálculo do valor numérico de grandezas geométricas com uma precisão admirável para a época. Um exemplo notável pode ser visto em um tablete sumeriano da Yale Babylonian Collection, catalogado sob a sigla YBC7289.
Tablete sumério YBC7289, da Yale Babylonian Collection.
Nele vemos representado um quadrado, suas duas diagonais e três números:
a=30
b=1,24,51,10
c=42,25,35
escritos no sistema sexagesimal sumeriano. Nessa notação os algarismos do sistema sexagesimal são indicados por 0, 1, 2, ..., 9, 10, 11, 12, ...,59, e a vírgula separa as casas.

Desenho esquemático do tablete sumério YBC7289, mostrando um quadrado, suas duas diagonais, e três números sexagesimais, um sendo o valor do lado do quadrado, outro uma aproximação do valor de $\sqrt 2$, e o terceiro uma aproximação do valor de sua diagonal.
Calculando na base sexagesimal temos
portanto $c=a\cdot b$.
Por outro lado, interpretando na figura acima $c$ como o valor da diagonal do quadrado de lado $a$, temos, em virtude do Teorema de Pitágoras, 

\begin{displaymath}c=a\sqrt{2}.\end{displaymath}

Assim, relacionando $c=a\cdot b$ e $c=a\sqrt{2}$, vemos que $b$ deve ser uma aproximação de $\sqrt 2$. Lembrando que os sumérios não tinham notação para separar a parte inteira da parte fracionária na representação escrita dos números, passamos a interpretar $a$$b$ e $c$ como:
a=(0;30) 60
b=(1;24,51,10)60
c=(0;42,25,35)60
Vemos que 

que é próximo de 2.Resulta a aproximação

\begin{displaymath}\sqrt 2\approx (1;24,51,10)_{60}\end{displaymath}
No sistema decimal isso equivale a

\begin{displaymath}\sqrt 2\approx 1+{24\over 60}+{51\over60^2}+{10\over 60^3}\approx 1,414212963.\end{displaymath}

Comparando com $\sqrt 2\approx 1,414213562\pm 10^{-9}$ vemos que a aproximação calculada pelos sumérios tem erro $<10^{-6}$. Este foi sem dúvida um cálculo notável.

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