A evolução gráfica dos algarismos
Os mais antigos algarismos conhecidos da história são representados através de marcas de baixo relevo que correspondem às diferentes classes de unidades consecutivas da numeração escrita suméria. Assim, a unidade era representada por um entalhe fino, a dezena por uma impressão circular de pequeno diâmetro, a sessentena por um entalhe grosso, o número 600 por um a combinação de dois algarismos precedentes, o número 3600 por uma grande impressão circular e o número 36.000 por essa última munida de uma pequena impressão circular.
Essa sequência era obtida da seguinte forma:
1 |
10 |
60=10×6 |
600=(10×6)×10 |
3600=(10×6×10)×6 |
36000=(10×6×10×6)×10 |
Cerca do século XXVII a. C., estes algarismos foram alterados, passando a estar dirigidos para a direita, em vez de estarem dirigidos para baixo, conforme ilustra a figura:
 |  |  |  |  |  |
1 | 10 | 60 | 600 | 3 600 | 36 000 |
Forma dos algarismos sumérios arcaicos após uma rotação de 90º
Com a evolução da escrita cuneiforme, estes algarismos voltaram ser a alterados, passando a ter formas diferentes: a unidade era representada por um pequeno prego vertical, a dezena por uma viga, a sessentena por um prego vertical de maior dimensão, o número 600 por um prego vertical do tipo precedente associada a uma viga, o 3600 por um polígono formado pela reunião de quatro pregos, o número 36000 por um polígono do tipo precedente, munido de uma viga e por fim o número 216000 combinando o polígono de 3600 com o prego da sessentena.
| 1 | 10 | 60 | 600 | 3 600 | 36 000 | 21 600 | |
| ALGARISMOS ARCAICOS (conhecidos desde 3 200 - 3 100 a. C.) | DISPOSIÇÃO VERTICAL | ||||||
 |  |  |  |  |  | ||
| DISPOSIÇÃO HORIZONTAL | |||||||
 |  |  |  |  |  | ||
ALGARISMOS CUNEIFORMES (conhecidos ao menos desde o século XVII a. C.) |  |  |  |  |  |  |  |
Evolução gráfica dos algarismos de origem suméria.
O princípio da numeração escrita suméria
Com os sistemas de representação de algarismos os sumérios conseguiam obter qualquer número, baseando-se no princípio aditivo e, repetindo as vezes necessárias em cada ordem de unidades um algarismo, obtinha-se o número pretendido. É de notar a preocupação que existia em agrupar os algarismos idênticos com o objectivo de facilitar a sua rápida visualização e compreensão.
| 36 000 reproduzido 3 vezes | = | 36 000 × 3 | = | 108 000 |
| 3 600 reproduzido 4 vezes | = | 3 600 × 4 | = | 14 400 |
| 600 reproduzido 3 vezes | = | 600 × 3 | = | 1 800 |
| 60 reproduzido 1 vez | = | 60 × 1 | = | 60 |
| 10 reproduzido 3 vezes | = | 10 × 3 | = | 30 |
| 1 reproduzido 6 vezes | = | 1 ×6 | = | 6 |
124296 |
Representação do número 164571, com recurso aos algarismos arcaicos.
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 30 | 8 | 60 | 50 | 7 | 180 | 40 | 1 | 240 | 40 | 1 | 120 | 10 | 9 | |
| 4 | 38 | 117 | 221 | 281 | 139 | |||||||||
Representação do número 800, com recurso aos algarismos cuneiformes.
De forma a simplificar e evitar as desmedidas repetições de sinais idênticos, os escribas de Sumer usaram frequentemente o método subtractivo, escrevendo, por exemplo, os números 9, 18, 38, 57, 2360, 3110, da seguinte forma:
 |  |  |  |
| 10 - 1 | 20 - 2 | 40 - 2 | 60 - 3 |
| 9 | 18 | 38 | 57 |
 |  | ||
| 2 400 - 40 | 3 120 - 10 | ||
| 2360 | 3 110 | ||
O sinal  ou  era precisamente o equivalente ao nosso "menos" | |||
Representação de números recorrendo ao método subtractivo.
Também no sentido da simplificação da escrita, os múltiplos de 36000 passaram a ser representados da seguinte forma (em vez de se usar a repetição continua dos símbolos):
 |  |  |  |  |
72 000 | 108 000 | 144 000 | 180 000 | 216 000 |
Representação simplificada de alguns múltiplos de 36000.
Como calculavam os sumérios
Bilhas, cones e esferas para calcular
Para fazer cálculos os sumérios utilizavam objectos que, consoante a sua forma e tamanho, representavam as diferentes ordens de unidade do sistema sexagesimal:
1 |  | pequeno cone |
10 |  | bilha |
60 |  | grande cone |
600 |  | grande cone perfurado |
3600 |  | esfera |
36000 |  | esfera perfurada |
Objectos utilizados no cálculo.
O processo operatório no qual se baseavam para realizar a divisão consistia, no final de cada etapa, em trocar os objectos pelos de ordem imediatamente inferior. Com efeito, consideremos o seguinte exemplo:
Dividir 324000 por 7
324000=9×36000
Como se pretende a divisão por 7, repartiremos 9 esferas perfuradas por grupos de 7 (note-se que as esferas representam a maior unidade neste sistema):
| | | | | | | 1 grupo | |
Primeiro resto | | |
O número de grupos de 7 esferas perfuradas que resulta desta primeira divisão é igual a 1, ou seja, o quociente desta primeira divisão parcial é 1. No final desta primeira divisão restam 2 esferas perfuradas.
Para se poder prosseguir a operação é necessário converter 2×36000 em múltiplos de 3600 (unidade imediatamente inferior a 36000). Deste modo 2×36000=2×10×3600=20×3600. Obtemos assim 20 esferas simples, que repartimos novamente por grupos de 7:
| | | | | | | 2 grupos | |
| | | | | | | ||
Segundo resto | | | | | | |
O número de grupos de 7 esferas simples que resulta da segunda divisão é igual a 2, ou seja, o quociente desta segunda divisão parcial é 2 e restam 6 esferas simples.
Para prosseguir a operação vamos converter 6×3600 em múltiplos de 600. Obtemos assim 36 grandes cones perfurados, que repartimos novamente por grupos de 7:
| | | | | | | 5 grupos | |
| | | | | | | ||
| | | | | | | ||
| | | | | | | ||
| | | | | | | ||
Terceiro resto | |
O número de grupos de 7 grandes cones perfurados que resulta da terceira divisão é igual a 5 (quociente) e sobra 1 grande cone perfurado (resto).
De seguida converteremos 1×600 em múltiplos de 60. Obtemos assim 10 grandes cones simples, que repartimos novamente por grupos de 7:
| | | | | | | 1 grupo | |
Quarto resto | | | |
O número de grupos de 7 grandes cones simples que resulta da quarta divisão é igual a 1 (quociente) e sobram 3 grandes cones simples (resto).
Depois de converter 3×60 em múltiplos de 10 obtemos 18 bilhas, que repartimos novamente por grupos de 7:
| | | | | | | 2 grupos | |
| | | | | | | ||
Quinto resto | | | | |
O número de grupos de 7 bilhas que resulta da quinta divisão é igual a 2 (quociente) restando 4 bilhas.
Para terminar a operação resta-nos converter 4×10=40 por grupos de 7:
| | | | | | | 5 grupos | |
| | | | | | | ||
| | | | | | | ||
| | | | | | | ||
| | | | | | | ||
| | | | | | | ||
Sexto resto | | | | | |
O número de grupos de 7 pequenos cones que resulta da quinta divisão é igual a 50 (quociente) e restam 5 pequenos cones.
O quociente final obtém-se fazendo a adição dos quocientes obtidos nas várias divisões, com efeito:
1×36000+2×3600+5×600+1×60+2×10+5×1=46285 (quociente da divisão de 324000 por 7)
Das pedras ao ábaco
Posteriormente foi adoptado um outro processo que consistia em organizar por colunas as contagens que se efectuavam, sendo a primeira (a da direita) associada às unidades, a seguinte às dezenas e assim sucessivamente.
Consideremos o seguinte o exemplo: Representação do número 3672
M | C | D | U |
 | | | |
| | | |
| | | |
| | ||
| | ||
| | ||
| |||
Mais tarde este método de cálculo deu origem ao ábaco de pedras.
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